Мебіус і електрику [49]

Перша, цілком очевидний зв'язок між образами сну і 1858 роком відшукується без праці. Саме в цей час була відкрита так звана стрічка Мебіуса - найпростіша форма односторонньої поверхні, яка відіграє дуже важливу роль в розділі математики під назвою топологія. Власне, і сам цей термін - топологія - ввів у науковий обіг німецький математик Йоганн Бенедикт Лістинг (1808-1882), першим виявив і описав односторонню поверхню. Однак в підсумку вийшло так, що ім'я своє ця примітна фігура отримала в честь іншого німецького вченого, астронома і математика Август Фердинанд Мебіус (1790-1868), який зробив те ж саме відкриття одночасно і незалежно від лістингу.

При будь-якому описі видатних властивостей стрічки Мебіуса зазвичай прийнято підкреслювати, що цей об'єкт всякий цікавиться може дуже легко виготовити і повертати-помацати самостійно. Даний факт дійсно дуже важливий, оскільки науці топології дуже часто доводиться мати справу з фігурами і формами, які в звичному людині тривимірному просторі сконструювати в принципі неможливо. Стрічку ж Мебіуса виготовити простіше простого - треба взяти досить довгу смугу паперу і склеїти протилежні кінці з полупереворотом, тобто повернувши один кінець на 180 градусів.

Стрічка Мебіуса

Після чого відразу можна приступати і до первинного ознайомлення з химерними властивостями отриманого об'єкта. Найголовніше, як уже сказано - це одностороння поверхню даної фігури. Хоча спочатку у аркуша паперу було дві поверхні, нескладно переконатися, що стрічка Мебіуса має одну нескінченну поверхню. Для цього достатньо взяти олівець і почати вести лінію посередині стрічки. Ця лінія на своєму шляху пройде по обидва боки листа і повернеться в точку початку. Іншими словами, якщо уявити собі мурашки, світом проживання якого є згорнута кільцем стрічка Мебіуса, то в порівнянні з іншим мурахою, що живуть, скажімо, на сфері, для нього немає ніякої різниці між зовнішньою і внутрішньою поверхнею. Бо тут вони гладко переходять одна в іншу, так що зникає саме відмінність між поняттями «всередині» і «зовні» кільця.

Давно помічено, що стрічка Мебіуса дає надзвичайно цікаву і наочну аналогію для тривимірної односторонньої поверхні - як можливої ​​моделі реальної всесвіту. Правда, у стрічки Мебіуса є кілька специфічних особливостей, абсолютно не властивих тому простору, що оточує людину. Перш за все, нескінченним і замкнутим у стрічки є лише одне виділений напрям, а в перпендикулярному йому напрямку у листа є краю. Точніше, один край з двох сторін. Ця проблема, втім, долається легко, оскільки ще в 1882 році інший німецький математик, Фелікс Клейн, придумав і описав замкнуту односторонню фігуру, що одержала назву «пляшка Клейна» (за формою очевидно схожу з гігантським піщаним хробаком-Уробороса зі сну про геометрію) . Виходить цей об'єкт шляхом склеювання країв у двох стрічок Мебіуса. Правда з двовимірним листами така операція можлива лише за умови додаткових розрізів і склеювань. Однак в разі тривимірної поверхні ті ж самі по суті маніпуляції вже можливі гладко і без швів.

пляшка Клейна

*

Інша, більш серйозна особливість, сильно відрізняє лист Мебіуса і інші односторонні поверхні від відомої людині всесвіту - це так звана неоріентіруемость. Говорячи спрощено, під орієнтується в топології прийнято називати властивість, що дозволяє розділяти ідентичні в іншому об'єкти на «праві» і «ліві». Якщо ж поверхня неоріентіруема, то належить їй об'єкт після одного обороту по петлі повертається в дзеркально відображеному вигляді. На прозорій стрічці Мебіуса це легко побачити, коли літери латинського алфавіту «L» і «R» після однократного обходу циклу перетворюються в літери кирилиці «Г» і «Я».

Всі експериментальні дані, відомі людині про навколишній його світі, свідчать на користь того, що простір всесвіту всюди є орієнтованим. Тобто, як би далеко лівша НЕ забрідав в своїх блуканнях по космосу, він все одно повернеться лівшею, а не правшой, і записи його будуть складатися з колишніх букв, а не дзеркально відображених. З чого природним чином випливає, що моделювати наш світ у вигляді «звичайної» тривимірної пляшки Клейна не представляється можливим.

Однак багатство властивостей стрічки Мебіуса далеко не вичерпується однією лише нескінченністю односторонньої поверхні. Якщо, скажімо, цю стрічку акуратно розрізати уздовж осьової лінії, то в результаті вийде не два кільця, а знову одне, але вузьке і в два рази більшої довжини. Якщо ж інший лист Мебіуса розрізати уздовж не на дві, а на три частини, відступивши від кожного з країв на третину ширини стрічки, то вийде така фігура: ще один лист Мебіуса шириною в третину від початкового, а в нього протягнута довга і тонка стрічка, двічі перекручена уздовж своєї осі.

Тепер «маленького Мебіуса» можна якось позначити, наприклад зафарбувавши його поверхню, а довгу стрічку акуратно укласти з обох сторін поверх зафарбованою. В результаті вийде лист Мебіуса потрійний товщини і з новим цікавим властивістю. Дві крайні незафарбовані частини «сендвіча», хоча і зроблені з однієї довгої стрічки, проте, ніде не змикаються один з одним, а просто лежать уздовж сторін третьої, зафарбованою стрічки. Втім, про яких сторони йдеться? Адже згадаймо, центральна частина - це ж одностороння поверхню. Та й крайні, раз вони повторюють її форму, теж стали схожі на два листа Мебіуса, які здобули самостійність, обвившись навколо зафарбованою прошарку.

**

З практичної точки зору описана конструкція цікава тим, що забезпечує досить оригінальне і красиве рішення для серйозної проблеми, з якою регулярно доводиться стикатися розробникам електронних схем. Йдеться про схемах, призначених для роботи зі змінними струмами або імпульсними сигналами високої частоти, як, наприклад, в радарах і системах високочастотного зв'язку. У подібних умовах на роботу будь-яких електронних пристроїв в значній мірі залежить від небажані впливу з боку невідомих (тобто не піддаються розрахунками) реактивних опорів в самих компонентах схеми або небажані ефекти зв'язку (ємнісний або індуктивного) між окремими компонентами.

В ідеальних умовах всякий резистор схеми повинен забезпечувати тільки опір (іменоване активним), конденсатор - тільки ємність, а котушка дроселя - тільки індуктивність. Але в реальному фізичному світі кожен предмет, включаючи і радіодеталі, має конкретну форму і якимось чином розташовується в просторі. Тому будь-яка радіодеталей поводиться і як маленький конденсатор (володіючи власної електричної ємністю і, отже, надаючи змінним струмом опір місткості), і як крихітний дросель - породжуючи опір індуктивний.

Обидва цих паразитних опору об'єднують загальним терміном «реактивність», а для скорочення ефектів реактивного опору придумуються найрізноманітніші трюки і хитрощі. В кінцевому рахунку, правда, всі вони так чи інакше зводяться до способу, придуманому шотландським фізиком Максвеллом ще на зорі електротехніки. Джеймс Клерк Максвелл, глибоко осягнув особливості взаємодії електричних і магнітних полів при створенні своєї теорії електромагнетизму, свого часу зазначив, що резистори можна симетрично згинати в формі шпильки для волосся, щоб електричний струм йшов по провіднику в двох протилежних напрямках, врівноважуючи і зводячи нанівець ємнісний або індуктивний опір.

Різноманітні рішення, придумані згодом на основі методу Максвелла, працювали порівняно непогано. Однак до 1960-х років, з появою космічної техніки і потужного високочастотного обладнання, що були технологій для гасіння реактивності стало явно недостатньо. В американському ядерному центрі Sandia Labs на замовлення агентства НАСА над поліпшеним рішенням цієї проблеми працював фізик Річард Л. Девіс. І ось якось одного разу, за його власними спогадами, Девіс вирішив дати повну волю фантазії і відпустив свій розум поблукати у вільному пошуку відповіді. Ось тут-то він і згадав про стрічку Мебіуса - спочатку, як про старому математичного фокусі для розваги публіки в салонах і компаніях. Але потім незвичайні топологічні властивості фігури несподівано перемішалися з електронікою, і в підсумку Девіс отримав те, що шукав - конструкцію нереактивного «резистора Мебіуса». [1]

резистор Мебіуса

***

Девіс виготовив стрічку Мебіуса з гнучкої стрічки пластмасового ізолятора, з двох сторін якої була приклеєна металева фольга, що служить в якості електричного опору. Провід, що підводять струм до фользі, він припаяв в точках, що знаходяться строго один проти одного з протилежних сторін стрічки. Тому, коли через ці дроти пішли електричні імпульси, ток розділився на дві гілки, які потекли через стрічку фольги в обох напрямках, по суті, проходячи через провідник двічі. Завдяки цьому вся паразитная реактивність стала взаємно гаситися практично ідеально.

Попутно в ході експериментів були виявлені і інші примітні особливості резистора Мебіуса. Зокрема, те, що цей пристрій електромагнітно ніяк не впливає на інші металеві об'єкти, компоненти схеми або на себе самого, навіть якщо форма готового резистора змінюється (наприклад, при компактній намотуванні стрічки на сердечник). Крім того, Річард Девіс виявив ще одне дивовижне - і вельми корисне на практиці - властивість резистора Мебіуса. Якщо до сторін однієї стрічки ізолятора приклеєний не один, а два комплекти резистивних стрічок з фольги, розташованих на відстані близько 1,5 мм один від одного, то виходили два повноцінних резистора Мебіуса, електромагнітно ніяк що не впливають один на одного.

Ці резистори виявилося можливим потім з'єднувати послідовно і паралельно - як звичайні елементи електронних схем. Величина результуючого опору змінювалася відповідно до звичайними ефектами послідовного-паралельного з'єднання, без зміни константи часу реакції, отриманої для єдиного резистора. Результат, з одного боку, дуже приємний, оскільки дозволяє компонувати резистори з будь-якої потрібної величиною активного опору. З іншого ж боку, даний результат вкрай спантеличує своєю фізикою. Тому що імпульси струму одночасно проходять через провідник в протилежних напрямках, а два комплекти невзаимодействующих резисторів на одній стрічці Мебіуса - це, якщо придивитися уважніше, насправді одна і та ж довга стрічка.

За визнанням самого винахідника, в 1966 році оформив на резистор Мебіуса патент США [2], він і сам толком не зміг зрозуміти, як і чому працює цей пристрій. Бути може, сказав одного разу Річард Девіс в одному з інтерв'ю, що щось змістовне на даний рахунок міг би розповісти нам Максвелл, але він, на жаль, давно вже мертвий ... А ще може бути і так (якщо вірити сну «про геометрію космосу») , що загадки резистора Мебіуса якимось суттєвим чином пов'язані з квантовим парадоксом Ейнштейна-Подольського-Розена або коротко ЕПР - ще більш спантеличує загадкою сучасної фізики.

[1] "Making Resistors With Math", Time, September 25, 1964
[2] Richard L. Davis, "Non-Inductive Electrical Resistor", US Patent # 3 267 406, August 16, 1966