геометрія кола

1. 1. Дано діаметр D і довжина дуги L
2. 2. Дано діаметр D і довжина хорди X
3. 3. Дано діаметр D і центральний кут φ
4. 4. Дано діаметр D і висота сегмента H
5. 6. Дано довжина дуги L і центральний кут φ
6. 8. Дано довжина хорди X і центральний кут φ
7. 9. Дано довжина хорди X і висота сегмента H
8. 10. Дано центральний кут φ і висота сегмента H
9. 5. Дано довжина дуги L і довжина хорди X

Коло, його частини, їх розміри і співвідношення - речі, з якими ювелір постійно стикається. Кільця, браслети, касти, трубки, кулі, спіралі - багато всього круглого доводиться робити. Як же все це порахувати, особливо якщо тобі пощастило в школі прогуляти уроки геометрії? ..

Давайте спочатку розглянемо, які у кола бувають частини і як вони називаються.

• Окружність - лінія, що обмежує коло.
• Дуга - частина окружності.
• Радіус - відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якої точкою кола.
• Хорда - відрізок, що з'єднує дві точки кола.
• Сегмент - частина круга, обмежена хордою і дугою.
• Сектор - частина круга, обмежена двома радіусами і дугою.

Цікавлять нас величини та їх позначення:

Тепер подивимося, які завдання, пов'язані з частинами кола, доводиться вирішувати.

• Знайти довжину розгортки будь-якої частини кільця (браслета). Заданий діаметр і хорда (варіант: діаметр і центральний кут), знайти довжину дуги.
• Є малюнок на площині, треба дізнатися його розмір в проекції після згинання в дугу. Задані довжина дуги і діаметр, знайти довжину хорди.
• Дізнатися висоту деталі, отриманої згинанням плоскою заготовки в дугу. Варіанти вихідних даних: довжина дуги і діаметр, довжина дуги і хорда; знайти висоту сегмента.

Життя підкаже й інші приклади, а ці я привів тільки для того, щоб показати необхідність завдання яких-небудь двох параметрів для знаходження всіх інших. Ось цим ми і займемося. А саме, візьмемо п'ять параметрів сегмента: D, L, X, φ і H. Потім, вибираючи з них всі можливі пари, будемо вважати їх вихідними даними і шляхом мозкового штурму знаходити всі інші.

Щоб даремно не вантажити читача, докладних рішень я наводити не буду, а наведу лише результати у вигляді формул (ті випадки, де немає формального рішення, я обмовлю по ходу справи).

І ще одне зауваження: про одиниці виміру. Всі величини, крім центрального кута, вимірюються в одних і тих же абстрактних одиницях. Це означає, що якщо, наприклад, ви задаєте одну величину в міліметрах, то іншу не треба ставити в сантиметрах, а результуючі значення будуть вимірюватися в тих же міліметрах (а площі - в квадратних міліметрах). Те ж саме можна сказати і про дюйми, фути і морські милі.

І тільки центральний кут у всіх випадках вимірюється в градусах і ні в чому іншому. Тому що, як показує практика, люди, які проектують що-небудь кругле, не схильні вимірювати кути в радіанах. Фраза «кут пі на чотири» багатьох ставить в тупик, тоді як «кут сорок п'ять градусів» - зрозуміла всім, так як це всього на п'ять градусів вище норми. Однак, у всіх формулах буде присутній в якості проміжної величини ще один кут - α. За змістом це половина центрального кута, виміряна в радіанах, але в цей сенс можна спокійно не вникати.

1. Дано діаметр D і довжина дуги L

; довжина хорди ;
висота сегмента ; центральний кут .

2. Дано діаметр D і довжина хорди X

; довжина дуги ;
висота сегмента ; центральний кут .

Оскільки хорда ділить коло на два сегменти, у цій задачі не одне, а два рішення. Щоб отримати другу, потрібно в наведених вище формулах замінити кут α на кут .

3. Дано діаметр D і центральний кут φ

; довжина дуги ;
довжина хорди ; висота сегмента .

4. Дано діаметр D і висота сегмента H

; довжина дуги ;
довжина хорди ; центральний кут .

6. Дано довжина дуги L і центральний кут φ

; діаметр ;
довжина хорди ; висота сегмента .

8. Дано довжина хорди X і центральний кут φ

; довжина дуги ;
діаметр ; висота сегмента .

9. Дано довжина хорди X і висота сегмента H

; довжина дуги ;
діаметр ; центральний кут .

10. Дано центральний кут φ і висота сегмента H

; діаметр ;
довжина дуги ; довжина хорди .

Уважний читач не міг не помітити, що я пропустив два варіанти:

5. Дано довжина дуги L і довжина хорди X

7. Дано довжина дуги L і висота сегмента H

Це як раз ті два неприємних випадки, коли у завдання немає рішення, яке можна було б записати у вигляді формули. А завдання-то не така вже й рідкісна. Наприклад, у вас є плоска заготовка довжини L, і ви хочете зігнути її так, щоб її довжина стала X (або висота стала H). Якого діаметру взяти оправлення (ригель)?

Завдання це зводиться до вирішення рівнянь:
; - у варіанті 5
; - у варіанті 7
і хоч вони і не вирішуються аналітично, зате легко вирішуються програмним способом. І я навіть знаю, де взяти таку програму: на цьому самому сайті, під ім'ям Segment . Все те, що я тут довго розповідаю, вона робить за мікросекунди.

Для повноти картини додамо до результатів наших обчислень довжину окружності і три значення площ - кола, сектора і сегмента. (Площі нам дуже допоможуть при обчисленні маси всяких круглих і напівкруглих деталей, але про це - в окремій статті.) Всі ці величини обчислюються за одним і тим же формулам:

довжина окружності ;
площа кола ;
площа сектора ;
площа сегмента ;

І на закінчення ще раз нагадаю про існування абсолютно безкоштовною програми, яка виконує всі перераховані обчислення, звільняючи вас від необхідності згадувати, що таке арктангенс і де його шукати.

програма Segment