- Як знайти хорду кола - випадок 1
- Як знайти хорду кола - випадок 2
- Як знайти хорду кола - випадок 3
- Як знайти хорду кола - корисні властивості
- Основні терміни
- властивості дотичної
- хорда
- властивості хорд
- властивості окружності
- Теорема про дотичній і січною
- Теорема про січних
- Кути в окружності
- Властивості кутів, пов'язаних з колом
- Довжини і площі
- Вписані і описані окружності
- Коло і чотирикутники
- Поняття «хорда»
- Властивості і формули
- інші обчислення
Хорда - це відрізок, який з'єднує дві довільні точки одному колі. Знаходження довжини даного елемента кола - це завдання, що відноситься до геометричного розділу математики. Для її обчислення необхідно зробити упор на величини, дані в завданні, а також властивості інших елементів.
Існує кілька типів завдань на знаходження хорди. У кожному з них дано різні значення, які можуть бути використані для проведення необхідних обчислень.
Як знайти хорду кола - випадок 1
Здається окружність, в якій є радіус R. Якщо дуга φ стягується хордою L, при цьому φ задана в градусах, то значення довжини хорди буде обчислюватися так: L = 2 * R * sin (φ / 2). Для вирішення завдання необхідно буде просто підставити числові значення і обчислити.
Як знайти хорду кола - випадок 2
- Здається окружність, центр якої лежить в т. Про і хордами АВ і АС, які перетинають окружність в загальній т. А. В цьому випадку кут, який утворюють хорди (ВАС), спирається на діаметр. В даному випадку рекомендується виконати пояснювальний креслення, щоб було видно освіту рівнобедреного трикутника АВС, в якому ВС - підстава і діаметр, отже, ВО = ОС (як радіуси). Тоді АТ є медіаною в трикутнику і ще одним радіусом. АВ і АС - сторони трикутника, АВ = АС (тому що трикутник є рівнобедреним). Трикутники АОС і АОВ є прямокутними і рівнобокими. Знаючи радіус, по теоремі Піфагора обчислюється хорда: АС 2 = АТ 2 + ОС 2.
- В даному випадку можна скористатися іншою формулою, якщо відомий діаметр і центральний кут, на який спирається хорда: L = 2R * Sin (α / 2) = D * Sin (α / 2).
Як знайти хорду кола - випадок 3
Коли задається коло з діаметром і хордою і дається кут між ними (α), то необхідно провести перпендикуляр до центру під іншим кутом заходу хордою кола. Вийде прямокутний трикутник. Теорема про проекціях дозволяє вивести формулу, яку можна використовувати для знаходження хорди: РЄ = 2 * R * cos α.
Як знайти хорду кола - корисні властивості
- Хорда, що проходить через центр заданої окружності, буде її діаметром.
- Якщо в окружності проведено дві хорди, які перетинаються між собою, то спрацьовує така властивість: кут між ними буде дорівнює ½ суми заходів двох дуг: розташованої навпроти хорди і тієї, що знаходиться в кутку.
- У разі, коли до заданої окружності проводиться дотична, яка утворює з хордою кут, то він буде дорівнює значенню, отриманому в результаті розподілу величини дуги, яку стягує дана хорда, на 2.
Інструкція
Нехай задана окружність з відомим радіусом R, її хорда L стягує дугу φ, де φ визначена в градусах або радіанах. В цьому випадку обчисліть довжину хорди за такою формулою: L = 2 * R * sin (φ / 2), підставивши всі відомі значення.
Розглянемо коло з центром в точці О і заданим радіусом. Шуканими є дві однакові хорди АВ і АС, які мають одну точку перетину з колом (А). При цьому відомо, що кут, утворений хордами, спирається на діаметр фігури. Виконайте графічне побудова зазначених елементів в окружності. Радіус з центру Про опустіть до точки перетину хорд А. Хорди при цьому будуть утворювати трикутник АВС. Для визначення довжин однакових хорд використовуйте властивості отриманого рівнобедреного трикутника (АВ = АС). Відрізки ВО і ОС рівні (АС за умовою - діаметр) і є радіусами фігури, отже, АТ являє собою медіану трикутника АВС.
Відповідно до властивості рівнобедреного трикутника, його медіана є одночасно і висотою, тобто, перпендикуляром до основи. Розгляньте отриманий прямокутний трикутник АОВ. Катет ОВ відомий і дорівнює половині діаметра, тобто, R. Другий катет АТ також заданий як радіус R. Звідси, застосувавши теорему Піфагора, висловіть невідому сторону АВ, яка і є шуканої хордою кола. Обчисліть остаточний результат АВ = √ (АО² + ОВ²). За умовою завдання, довжина другої хорди АС дорівнює АВ.
Припустимо, задана окружність з діаметром D і хордою РЄ. При цьому відомий кут, утворений хордою і діаметром. Обчислити довжину хорди можна, використовуючи такі побудови. Намалюйте коло з центром в точці О і хорду РЄ, проведіть діаметр через центр і одну з точок хорди (С). Відомо, що будь-яка хорда з'єднує дві точки кола. Опустіть з другої точки її перетину з колом (Е) в центр Про радіус ЕО. Таким чином, виходить трикутник СЕО з підставою-хордою РЄ. При відомому вугіллі біля основи ЕСО обчисліть хорду за допомогою формули з теореми про проекціях: РЄ = 2 * ОС * cos
Хордою називається відрізок прямої, проведений усередині кола і з'єднує дві точки на колі. Хорда не проходить через центр кола і цим відрізняється від діаметра.
Інструкція
Хорда є найкоротшим відстанню між двома точками на лінії окружності. Хорда відрізняється від діаметра тим, що не проходить через центр кола. Діаметрально протилежні точки кола знаходяться на максимально можливій відстані один від одного. Отже, будь-яка хорда в окружності менше діаметра.
Проведіть в колі довільну хорду. З'єднайте кінці отриманого відрізка, що лежать на лінії окружності, з центром кола. Ви отримали трикутник, одна вершина якого розташована в центрі кола, а дві інші - на колі. Трикутник рівнобедрений, дві його сторони є радіусами кола, третя сторона - шукана хорда.
Проведіть з вершини трикутника, збігається з центром кола, висоту на сторону - хорду. Оскільки трикутник рівнобедрений, ця висота одночасно є медіаною і бісектрисою. Розгляньте прямокутні трикутники, на які висота розділила вихідний трикутник. Вони рівні.
У кожному з двох прямокутних трикутників гипотенузой є радіус кола, висота вихідного трикутника - загальний для двох фігур катет. Другий катет дорівнює половині довжини хорди. Якщо позначити хорду L, то з співвідношень елементів в прямокутному трикутнику слід:
L / 2 = R * Sin (α / 2)
де R - радіус кола,
α - центральний кут між радіусами, що з'єднують кінці хорди з центром кола.
Отже, довжина хорди в окружності дорівнює добутку діаметра окружності на синус половини центрального кута, на який дана хорда спирається:
L = 2R * Sin (α / 2) = D * Sin (α / 2)
Під катетом мається на увазі одна зі сторін прямокутного трикутника , Яка разом з іншим катетом утворює прямий кут. Якщо у трикутника немає прямого кута, то і катетів в ньому теж не буде. Для того, щоб обчислити катет, можна вдатися до декількох способів.
Інструкція
Слідство з теореми Піфагора.
Сама теорема формульно виражається так:
c? = A? + B? (квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів).
Знаючи це, довжини катетів a і b можна обчислити так:
a = v (c? - b?);
b = v (c? - a?).
Згідно з рядом тригонометричних формул і законів, довжини катетів а і b можна буде обчислити, знаючи кути і дві інші сторони прямокутного трикутника:
a = c * cos ?;
b = c * cos ?;
a = c * sin ?;
b = c * sin ?;
a = b * tan ?;
b = a * tan ?;
Відео по темі
Дугою кола називається частина кола, укладена між двома її точками. Її можна позначити як AСB, де A і B - її кінці. Довжину дуги можна виразити через тиснучу хорду, радіус кола і кут між радіусами, проведеними до кінців хорди.
Інструкція
Нехай ACB - дуга окружності, R - її радіус, O - центр кола. Відрізки OB і OC будуть радіусами кола. Нехай кут між ними дорівнює ?. Тоді ACB = R ?, де кут? виражений в радіанах, - довжина дуги окружності.Еслі кут? виражений в градусах, то довжина дуги кола дорівнює: ACB = R * pi *? / 180.
Хорда AB стягує дугу AСB. Нехай відома довжина хорди AB і кут? між радіусами OA і OB. Трикутник AOB - рівнобедрений, так як OA = OB = R.
Висота OE в трикутнику AOB одночасно є його бісектрисою і медіаною. Отже, кут AOE = AOB / 2 =? / 2, а AE = BE = AB / 2. Розгляньте трикутник AEO. Так як OE - висота, то він прямокутний (кут AOE - прямий). AO - його гіпотенуза, а AE - його катет. Звідси, R = OA = (AB / 2) / sin (? / 2). Отже, ACB = (AB / 2) / sin (? / 2) * pi *? / 180
Відео по темі
Довжина характеризує відстань між початковим і кінцевим пунктом відрізка. Розрізняють довжину прямої, ламаної і замкнутої ліній. Її знаходять експериментальним або аналітичним способом.
Інструкція
Термін «довжина» у більшості людей асоціюється з відповідною характеристикою прямій лінії. Однак насправді, цей параметр є у лінії будь-якої форми. Так, наприклад, вона є у колі.
Окружність є замкнутим відрізок, який є утворює кола. Якщо точно слідувати визначенням, то окружністю називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від її центру. Всі кола мають деякий радіус, що позначається як r, а також діаметр, рівний D = 2r. Довжина цієї лінії дорівнює значенню виразу: C = 2πr = πD, де r - радіус кола, D - діаметр окружності.
Якщо мова йде про пряму лінію, то мається на увазі або звичайний відрізок, або замкнута фігура, така як трикутник або прямокутник. Для останнього довжина є основною характеристикою. Простий відрізок можна виміряти експериментально, а довжину сторони у фігури найзручніше обчислити. Найбільш просто здійснити цю операцію щодо прямокутника.
Окремим випадком прямокутника є рівносторонній, званий квадратом. В умовах деяких завдань наведено тільки значення площі, а знайти необхідно сторону. Оскільки сторони квадрата рівні, то вона обчислюється за такою формулою: a = √S.Еслі прямокутник НЕ рівносторонній, то, знаючи його площу і одну зі сторін, знайдіть довжину перпендикулярній боку наступним чином: a = S / b, де S - площа прямокутника , b - ширина прямокутника.
Довжина сторони трикутника знаходиться трохи іншим способом. Для визначення цієї величини необхідно знати не тільки довжини інших сторін, але і значення кутів. Якщо дано прямокутний трикутник з кутом 60 ° і стороною з, яка є його гіпотенузою, довжину катета знайдіть за такою формулою: a = c * cosα.Кроме того, якщо в задачі дана площа трикутника і висота, довжину підстави можна знайти за іншою формулою: a = 2√S / √√3.
Довжину сторін будь-якої фігури найпростіше знайти, якщо вона рівнобічна. Наприклад, якщо навколо рівностороннього трикутника описана окружність, довжину сторони цього трикутника обчисліть наступним чином: a3 = R√3.Для довільного правильного n-кутника сторону знайдіть наступним чином: an = 2R * sin (α / 2) = 2r * tg (α / 2), де R - радіус описаного кола, r - радіус вписаного кола.
Відео по темі
Медіана - геометричне визначення, яке пов'язане з поняттям трикутника. Вона являє собою відрізок, що з'єднує вершину довільного трикутника з серединою протилежної сторони. Знайти або обчислити довжину медіани можна, знаючи довжини сторін довільного трикутника. Розглянемо рішення задачі на прикладі.
Властивості кіл, теорема про дотичній і січною, теорема про січні, властивості дотичній, властивості хорд, вписані і описані окружності
властивості кіл
1. Пряма може не перетинатися з колом; мати одну спільну точку з колом - дотична; перетинати коло в двох точках - січна.
2. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести окружність, і до того ж тільки одну.
3. Точка дотику двох кіл лежить на лінії, що з'єднує їх центри.
Теорема про дотичній і січною
Якщо з точки, що лежить поза колом, проведені дотична і січна, то квадрат довжини дотичній дорівнює добутку січної на її зовнішню частину: MC2 = MA.MB.
Теорема про січних
Якщо з точки, що лежить поза колом, проведені дві січні, то твір однієї січної на її зовнішню частину дорівнює добутку іншого січною на її зовнішню частину. MA.MB = MC.MD.
дотична
Пряма, що має з тільки одну спільну точку, називається дотичною до кола, а їх загальна точка називається точкою дотику прямої та кола.
властивості дотичної
1. Радіус, опущений в точку дотику перпендикулярний дотичній до окружності.
2. Якщо провести з однієї точки відрізки дотичних до кола, то вони будуть рівні і складуть рівні кути з прямою, яка проходить через цю точку і центр кола.
хорда
Відрізок, який сполучає дві точки, що лежать на колі, називається її хордою. Хорда, яка проходить через центр кола, називається діаметром.
властивості хорд
1. Діаметр / радіус, перпендикулярний до хорди, ділить цю хорду і обидві її дуги навпіл. І навпаки: якщо діаметр / радіус ділить навпіл хорду, то він перпендикулярний цій хорді.
2. Протилежні дуги, відокремлені паралельними хордами, рівні.
3. Якщо дві хорди окружності, AB і CD перетинаються в точці M, то твори відокремлених ними відрізків рівні: AM.MB = CM.MD.
Вписані і описані окружності
Коло і трикутники
Центр вписаного кола лежить в точці перетину бісектрис трикутника, її радіус r обчислюється за формулою:
r = S / P,
де S - площа трикутника, а напівпериметр Р:
P = (a + b + c) / 2
Центр описаного кола лежить в точці перетину серединних перпендикулярів, її радіус R обчислюється за формулою:
R = 0.5 * (a / sin α),
R = (abc) / (4S);
тут a, b, c - сторони трикутника, α - кут, що лежить проти сторони a, S - площа трикутника;
. центр описаного навколо прямокутного трикутника окружності лежить на середині гіпотенузи;
. центр описаної і вписаною кіл трикутника збігаються тоді і тільки тоді, коли цей трикутник - правильний.
Коло і чотирикутники
Близько опуклого чотирикутника можна описати коло лише тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180 °:
α + γ = β + φ = 180 °;
. в чотирикутник можна вписати коло тільки в тому випадку, коли у нього рівні суми протилежних сторін:
a + c = b + d;
. близько паралелограма можна описати коло лише в тому випадку, коли він є прямокутником;
. близько трапеції можна описати коло тільки тоді, коли ця трапеція - рівнобедрена; центр окружності лежить на перетині осі симетрії трапеції з серединним перпендикуляром, опущеним на бічну сторону;
. в паралелограм можна вписати коло тільки, якщо він є ромбом.
Окружністю називається фігура, яка складається з усіх точок площини, що знаходяться від даної точки на даній відстані. Дана точка називається центром кола, а відрізок, що з'єднує центр з якою-небудь точкою кола, - радіусом окружності.
Частина площини, обмежена колом називається колом.
Круговим сектором або просто сектором називається частина круга, обмежена дугою і двома радіусами, що з'єднують кінці дуги з центром кола.
Сегментом називається частина круга, обмежена дугою і стягує її хордою.
Основні терміни
дотична
Пряма, що має з тільки одну спільну точку, називається дотичною до кола, а їх загальна точка називається точкою дотику прямої та кола.
властивості дотичної
Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.
Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні і складають рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.
хорда
Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називається її хордою. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром.
властивості хорд
Діаметр (радіус), перпендикулярний до хорди, ділить цю хорду і обидві стягують нею дуги навпіл. Верна і зворотна теорема: якщо діаметр (радіус) ділить навпіл хорду, то він перпендикулярний цій хорді.
Дуги, укладені між паралельними хордами, рівні.
Якщо дві хорди окружності, AB і CD перетинаються в точці M, то твір відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків інший хорди: AM MB = CM MD.
властивості окружності
Пряма може не мати з колом спільних точок; мати з колом одну спільну точку (дотична); мати з нею дві загальні точки (січна).
Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести окружність, і до того ж тільки одну.
Точка дотику двох кіл лежить на лінії, що з'єднує їх центри.
Теорема про дотичній і січною
Якщо з точки, що лежить поза колом, проведені дотична і січна, то квадрат довжини дотичній дорівнює добутку січної на її зовнішню частину: MC 2 = MA MB.
Теорема про січних
Якщо з точки, що лежить поза колом, проведені дві січні, то твір однієї січної на її зовнішню частину дорівнює добутку іншого січною на її зовнішню частину. MA MB = MC MD.
Кути в окружності
Центральним кутом в окружності називається плоский кут з вершиною в її центрі.
Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним кутом.
Будь-які дві точки кола ділять її на дві частини. Кожна з цих частин називається дугою кола. Мірою дуги може служити міра відповідного їй центрального кута.
Дуга називається півколом, якщо відрізок, що з'єднує її кінці, є діаметром.
Властивості кутів, пов'язаних з колом
Вписаний кут або дорівнює половині відповідного йому центрального кута, або доповнює половину цього кута до 180 °.
Кути, вписані в одну окружність і спираються на одну й ту ж дугу, рівні.
Вписаний кут, що спирається на діаметр, дорівнює 90 °.
Кут, утворений дотичною до кола і січною, проведеної через точку дотику, дорівнює половині дуги, укладеної між його сторонами.
Довжини і площі
Довжина кола C радіуса R обчислюється за формулою:
C = 2 R.
Площа S кола радіуса R обчислюється за формулою:
S = R 2.
Вписані і описані окружності
Коло і трикутник 
центр вписаного кола - точка перетину биссектрис трикутника, її радіус r обчислюється за формулою:
r =,
де S - площа трикутника, а - напівпериметр;
R =,
R =;
тут a, b, c - сторони трикутника, - кут, що лежить проти сторони a, S - площа трикутника;
центр описаного навколо прямокутного трикутника окружності лежить на середині гіпотенузи;
центр описаної і вписаною кіл трикутника збігаються тільки в тому випадку, коли цей трикутник - правильний.
Коло і чотирикутники
близько опуклого чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180 °:
180 °;
в чотирикутник можна вписати коло тоді і тільки тоді, коли у нього рівні суми протилежних сторін:
a + c = b + d;
близько паралелограма можна описати коло тоді і тільки тоді, коли він є прямокутником;
близько трапеції можна описати коло тоді і тільки тоді, коли ця трапеція - рівнобедрена; центр окружності лежить на перетині осі симетрії трапеції c серединним перпендикуляром до бічної сторони;
в паралелограм можна вписати коло тоді і тільки тоді, коли він є ромбом.
Бувають випадки в житті, коли знання, отримані під час шкільного навчання, дуже корисні. Хоча під час навчання ці відомості здавалися нудними і непотрібними. Наприклад, як можна використовувати інформацію про те, як знаходиться довжина хорди? Можна припустити, що для спеціальностей, які пов'язані з такі знання малопридатні. Однак можна навести багато прикладів (від конструювання новорічного костюма до складного пристрою аероплана), коли навички рішення задач з геометрії є незайвими.
Поняття «хорда»
Дане слово означає «струна» в перекладі з мови батьківщини Гомера. Воно було введено математиками стародавнього періоду. Хордою позначають в розділі елементарної геометрії частина прямої лінії, яка об'єднує дві будь-які точки будь-якої кривої (кола, параболи або еліпса). Іншими словами, даний сполучний геометричний елемент знаходиться на прямій, що перетинає задану криву в декількох точках. У разі хорди укладена між двома точками цієї фігури.
Частина площини, обмежена прямий, що перетинає коло, і її дугою називають сегментом. Можна відзначити, що з наближенням до центру довжина хорди збільшується. Частина кола, що знаходиться між двома точками перетину даної прямої, називають дугою. Її мірою виміру є центральний кут. Вершина даної знаходиться в середині кола, а сторони впираються в точки перетину хорди з окружністю.
Властивості і формули
Довжина хорди окружності може бути обчислена за такими умовним виразами: 
L = D × Sinβ або L = D × Sin (1 / 2α), де β - кут при вершині вписаного трикутника;
D - діаметр окружності;
α - центральний кут.
Можна виділити деякі властивості даного відрізка, а також інших фігур, пов'язаних з ним. Ці моменти наведені в наступному списку:
- Будь-які хорди, що знаходяться на однаковій відстані від центру, мають рівні довжини, при цьому зворотне твердження також вірно.
- Всі кути, які вписані в коло і спираються на загальний відрізок, який об'єднує дві точки (при цьому їх вершини знаходяться в одній стороні від цього елемента), є ідентичними за величиною.
- Найбільша хорда є діаметром.
- Сума будь-яких двох кутів, якщо вони спираються на даний відрізок, але при цьому їх вершини лежать в різних сторонах щодо нього, становить 180 о.
- Велика хорда - в порівнянні з аналогічним, але меншим елементом - лежить ближче до середини даної геометричної фігури.
- Всі кути, які вписані і спираються на діаметр, рівні 90˚.
інші обчислення
Щоб знайти довжину дуги кола, яка укладена між кінцями хорди, можна використовувати формулу Гюйгенса. Для цього необхідно провести такі дії: 
- Позначимо шукану величину р, а хорда, що обмежує дану частину окружності, матиме назву АВ.
- Знайдемо середину відрізка АВ і до неї поставимо перпендикуляр. Можна відзначити, що проведений через центр хорди, утворює з нею прямий кут. Вірно і зворотне твердження. При цьому крапку, де діаметр, проходячи через середину хорди, стикається з колом, позначимо М.
- Тоді відрізки АМ і ВМ можна назвати відповідно, як l і L.
- Довжина дуги може бути обчислена за такою формулою: р≈2l + 1/3 (2l-L). Можна відзначити, що цього виразу при зростанні кута збільшується. Так, при 60˚ вона становить 0,5%, а для дуги, що дорівнює 45˚, ця величина зменшується до 0,02%.
Довжина хорди може використовуватися в різних сферах. Наприклад, при розрахунках і конструюванні які широко поширені в техніці. Також можна побачити обчислення цієї величини в балістиці для визначення відстані польоту кулі і так далі.
A?B?
C?
B?
C?
A?
B = c * cos ?
A = c * sin ?
B = c * sin ?
A = b * tan ?